数值分析是连接微积分无限精度与机器有限约束之间的桥梁。当微积分追求函数 $\phi(t)$ 的精确表达式时，计算则致力于生成一个能模拟其行为的可靠数值表。
理论基础
在进行任何计算之前，我们必须确保我们的探索不会徒劳无功。我们首先从 初值问题（IVP）：
$$y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0$$
定理 2.4.2 表明在 $t_0$ 附近某个区间内，该问题存在唯一的解 $y = \phi(t)$。这一保证为我们的数值求解提供了合理性；如果不存在解或解不唯一，我们的算法可能会收敛到无意义的结果，甚至完全发散。
积分之桥
几乎所有数值方法都源自微积分基本定理，具有相同的数学基因。我们可以将解 $\phi(t)$ 从一点演化到下一点的过程表示为一个精确恒等式：
$$\phi(t_{n+1}) - \phi(t_n) = \int_{t_n}^{t_{n+1}} \phi'(t) dt$$
通过代入微分方程 $\phi'(t) = f(t, \phi(t))$，我们得到 重构公式：
$$\phi(t_{n+1}) = \phi(t_n) + \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t, \phi(t)) dt$$
从连续到离散
计算机无法对未知函数 $\phi(t)$ 的积分进行求值。因此，我们 离散化。在最简单的情况下，我们将 $f(t, \phi(t))$ 下的面积近似为一个宽 $h = t_{n+1} - t_n$、高取自起点 $f(t_n, y_n)$ 的矩形。这种从曲线积分跃变为着色矩形的转变（如图 8.1.1 所示）产生了 欧拉公式：
离散化步骤
$$y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)$$
其中，$y_n$ 表示真实值 $\phi(t_n)$ 的数值近似。这种矩形近似引入的误差被称为局部截断误差。
🎯 核心原理
数值方法通过在小子区间上近似导数的积分，将微分方程转化为代数迭代。近似的质量取决于我们如何表示曲线 $f(t, y)$ 下方的面积。